Fractional dimension of some exceptional sets in continued fractions

In this paper, we calculate the Hausdorff dimension of some exceptional sets that emerge from specific constraints imposed on the partial quotients of continued fractions. In particular, we calculate the Hausdorff dimension of the sets <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>Λ</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mfenced close="}" open="{" separators=""> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:munderover> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:munderover> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="4pt"/> <mml:mtext>for</mml:mtext> <mml:mspace width="4pt"/> <mml:mtext>all</mml:mtext> <mml:mspace width="4pt"/> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>ℕ</mml:mi> </mml:mfenced> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>Λ</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mfenced close="}" open="{" separators=""> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:munderover> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:munderover> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="4pt"/> <mml:mtext>for</mml:mtext> <mml:mspace width="4pt"/> <mml:mtext>infinitely</mml:mtext> <mml:mspace width="4pt"/> <mml:mtext>many</mml:mtext> <mml:mspace width="4pt"/> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>ℕ</mml:mi> </mml:mfenced> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> We prove that the Hausdorff dimensions of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>Λ</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>Λ</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> are <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:math> respectively. The Hausdorff dimension of some other related sets, obtained by considering different faster growth rates such as replacing the growth rate of sums of partial quotients with the product of partial quotients in the above sets, is also calculated with the dimension bounds <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> and at least <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> .