Infinite series involving special functions obtained using simple one-dimensional quantum mechanical problems

Abstract In this paper certain classes of infinite sums involving special functions are evaluated analytically by application of basic quantum mechanical principles to simple models of half harmonic oscillator and a particle trapped inside an infinite potential well. The infinite sums <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>!</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:msub> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>ν</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> , <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>ν</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>ν</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>!</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mfrac> <mml:mrow>