On Lanzhou and Ad-hoc Lanzhou Indices of Derived Graphs and Silicate Structures

Abstract Degree-based topological indices are among the most widely used descriptors in chemical graph theory. These indices rely on the degrees (or valencies) of the vertices in a molecular graph, where the degree of a vertex corresponds to the number of edges (bonds) connected to it. One among these types of indices is the Lanzhou index, given by $$ Lz(G) = \sum \limits _{a\in V(G)}d_G(a)^2d_{\overline{G}}(a),$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:munder> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mover> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>¯</mml:mo> </mml:mover> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> where $$d_G(a)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> and $$d_{\overline{G}}(a)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mover> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>¯</mml:mo> </mml:mover> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> denote the degree of the vertex a in G and the complement graph of G , respectively. Ad-hoc Lanzhou index, $$\overline{Lz}(G)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mover> <mml:mrow> <mml:mi>Lz</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>¯</mml:mo> </mml:mover> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> is obtained by switching the roles of degrees of vertices, i.e., $$\overline{Lz}(G)=\sum \limits _{a \in V(G)}d_G(a)d_{\overline{G}}(a)^2.$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mover> <mml:mrow> <mml:mi>Lz</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>¯</mml:mo> </mml:mover> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:munder> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mover> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>¯</mml:mo> </mml:mover> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> In this manuscript, expressions for the Lanzhou and Ad-hoc Lanzhou indices of derived graphs, namely, subdivision, line, vertex semi-total, edge semi-total, and total graphs, are obtained. Also, Lanzhou and Ad-hoc Lanzhou indices of $$Si_2C_3-\MakeUppercase {i}(s,t),\ Si_2C_3-\MakeUppercase {ii}(s,t),$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> and $$Si_2C_3-\MakeUppercase {iii}(s,t)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mi>I</m