Normalized solutions for nonlinear Schrödinger systems with critical exponents

Abstract In this paper, we consider the following nonlocal Schrödinger system <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <m:mfenced close="" open="{"> <m:mrow> <m:mtable class="cases"> <m:mtr> <m:mtd columnalign="left"> <m:mo>−</m:mo> <m:mfenced close=")" open="("> <m:mrow> <m:mi>a</m:mi> <m:mo>+</m:mo> <m:mi>b</m:mi> <m:msub> <m:mrow> <m:mo>∫</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:msup> <m:mrow> <m:mi mathvariant="double-struck">R</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>3</m:mn> </m:mrow> </m:msup> </m:mrow> </m:msub> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> <m:mi>∇</m:mi> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>u</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:msup> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:mi mathvariant="normal">d</m:mi> <m:mi>x</m:mi> </m:mrow> </m:mfenced> <m:mi mathvariant="normal">Δ</m:mi> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>u</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>=</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>λ</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>u</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>+</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>μ</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>u</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:msup> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>p</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>−</m:mo> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>u</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>+</m:mo> <m:mi>β</m:mi> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>r</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>u</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:msup> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>r</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>−</m:mo> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>u</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>u</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:msup> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>r</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msub> </m:mrow> </m:msup> <m:mo>,</m:mo>