Multi-valued variational inequalities for variable exponent double phase problems: comparison and extremality results

Abstract We prove existence and comparison results for multi-valued variational inequalities in a bounded domain $$\Omega $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Ω</mml:mi> </mml:math> of the form $$\begin{aligned} u\in K{:}\, 0 \in Au+\partial I_K(u)+{\mathcal {F}}(u)+{\mathcal {F}}_\Gamma (u)\quad \text {in }W^{1, {\mathcal {H}}}(\Omega )^*, \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mi>K</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>Γ</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mtext>in</mml:mtext> <mml:mspace/> <mml:msup> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> where $$A{:}\,W^{1, {\mathcal {H}}}(\Omega ) \rightarrow W^{1, {\mathcal {H}}}(\Omega )^*$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:msup> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> given by $$\begin{aligned} Au:=-\text {div}\left( |\nabla u|^{p(x)-2} \nabla u+ \mu (x) |\nabla u|^{q(x)-2} \nabla u\right) \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mtext>div</mml:mtext> <mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> for $$u \in W^{1, {\mathcal {H}}}(\Omega )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , is the double phase operator with variable exponents and $$W^{1, {\mathcal {H}}}(\Omega )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow>