Comparison of Gini Means with Fixed Number of Variables

Abstract In this paper, we consider the global comparison problem of Gini means with fixed number of variables on a subinterval I of $$\mathbb {R}_+$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msub> </mml:math> , i.e., the following inequality where $$n\in \mathbb {N},n\ge 2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> is fixed, $$(p,q),(r,s)\in \mathbb {R}^2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> and $$x_1,\dots ,x_n\in I$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>⋯</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>I</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> . Given a nonempty subinterval I of $$\mathbb {R}_+$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msub> </mml:math> and $$n\in \mathbb {N}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , we introduce the relations $$\begin{aligned} \Gamma _n(I)&amp;:=\{((r,s),(p,q))\in \mathbb {R}^2\times \mathbb {R}^2\mid (*) \text{ holds } \text{ for } \text{ all } x_1,\dots ,x_n\in I\}, \\ \Gamma _\infty (I)&amp;:=\bigcap _{n=1}^\infty \Gamma _n(I). \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>Γ</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>∣</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow/> <mml:mo>∗</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mtext>holds</mml:mtext> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mtext>for</mml:mtext> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mtext>all</mml:mtext> <mml:mspace/> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>⋯</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mo>}</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:msub> <mml:mi>Γ</mml:mi> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:munderover> <mml:mo>⋂</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:munderover> <mml:msub> <mml:mi>Γ</mml:mi> <mml: