Infinitely Many Sign-Changing Solutions for Coupled Schrödinger System

In this article, we study the following coupled Schr <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mover> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold">o</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>¨</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:math> dinger system with subcritical exponent: <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mtable columnalign="left left" columnspacing="1em" displaystyle="false" rowspacing=".2em"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mspace width=".1em"/> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mspace width=".1em"/> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="1em"/> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>ν</mml:mi> <mml:mspace width=".1em"/> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mspace width=".1em"/> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mspace width=".1em"/> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="1em"/> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="1em"/> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∂</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> Here, either <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> or <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> </mml:math> is a smooth bounded domain in <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll">