Projective representations of real semisimple Lie groups and the gradient map

Abstract Let G be a real noncompact semisimple connected Lie group and let $$\rho : G \longrightarrow \text {SL}(V)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>ρ</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>⟶</mml:mo> <mml:mtext>SL</mml:mtext> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> be a faithful irreducible representation on a finite-dimensional vector space V over $$\mathbb {R}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:math> . We suppose that there exists a scalar product $$\texttt {g}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>g</mml:mi> </mml:math> on V such that $$\rho (G)=K\exp ({\mathfrak {p}})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>ρ</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo>exp</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , where $$K=\text {SO}(V,\texttt {g})\cap \rho (G)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mtext>SO</mml:mtext> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>∩</mml:mo> <mml:mi>ρ</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> and $${\mathfrak {p}}=\text {Sym}_o (V,\texttt {g})\cap (\text {d} \rho )_e ({\mathfrak {g}})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mtext>Sym</mml:mtext> <mml:mi>o</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>∩</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mtext>d</mml:mtext> <mml:mi>ρ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>e</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> . Here, $${\mathfrak {g}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>g</mml:mi> </mml:math> denotes the Lie algebra of G , $$\text {SO}(V,\texttt {g})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtext>SO</mml:mtext> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> denotes the connected component of the orthogonal group containing the identity element and $$\text {Sym}_o (V,\texttt {g})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mtext>Sym</mml:mtext> <mml:mi>o</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> denotes the set of symmetric endomorphisms of V with trace zero. In this paper, we study the projective representation of G on $${\mathbb {P}}(V)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> arising from $$\rho $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>ρ</mml:mi> </mml:math> . There is a corresponding G -gradient map $$\mu _{\mathfrak {p}}:{\mathbb {P}}(V) \longrightarrow {\mathfrak {p}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>⟶</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> . Using G -gradient map techniques, we prove that the unique compact G orbit $${\mathcal {O}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>O</mml:mi> </mml:math> inside the unique compact $$U^\mathbb {C}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:mi>C</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> orbit $${\mathcal {O}}'$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>O</mml:mi> </mml:mrow>