Global dynamics in a Keller–Segel system with rotation and indirect signal production

Abstract In this work, we study global dynamics in a no-flux initial-boundary value problem (IBVP) for the following fully parabolic minimal Keller–Segel system with matrix-valued sensitivity and indirect signal production: <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mtable columnalign="left"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>χ</mml:mi> <mml:mo>∇</mml:mo> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo>∇</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext>in </mml:mtext> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext>in </mml:mtext> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext>in </mml:mtext> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> in a bounded and smooth domain <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mtext>⩾</mml:mtext> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> with chemosensitivity parameter χ &gt; 0, nonnegative initial datum