Dirac Cohomology and $$\Theta $$-correspondence for Complex Dual Pairs

Abstract We study the behavior of Dirac cohomology under Howe’s $$\Theta $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Θ</mml:mi> </mml:math> -correspondence in the case of complex reductive dual pairs. More precisely, if $$(G_1,G_2)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> is a complex reductive dual pair with $$G_1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> and $$G_2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> viewed as real groups, we describe those Harish-Chandra modules $$\pi _1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>π</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> of $$G_1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> with nonzero Dirac cohomology whose $$\Theta $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Θ</mml:mi> </mml:math> -liftings $$\Theta (\pi _1)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Θ</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>π</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> still have nonzero Dirac cohomology. In this case, we compute explicitly the Dirac cohomology of $$\Theta (\pi _1)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Θ</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>π</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> .