Superior monogamy and polygamy relations and estimates of concurrence

It is well known that any well-defined bipartite entanglement measure <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>E</mml:mi></mml:math> obeys <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>γ</mml:mi></mml:math> th-monogamy relations Eq. (1.1) and assisted measure <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mi>E</mml:mi> <mml:mi>a</mml:mi></mml:msub> </mml:math> obeys <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>δ</mml:mi></mml:math> th-polygamy relations Eq. (1.2). Recently, we presented a class of tighter parameterized monogamy relation for the <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>α</mml:mi></mml:math> th <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow> </mml:math> power based on Eq. 1.1. This study provides a family of tighter lower (resp. upper) bounds of the monogamy (resp. polygamy) relations in a unified manner. In the first part of the paper, the following three basic problems are focused: (i)tighter monogamy relation for the <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>α</mml:mi></mml:math> th ( <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow> </mml:math> ) power of any bipartite entanglement measure <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>E</mml:mi></mml:math> based on Eq. (1.1);(ii)tighter polygamy relation for the <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>β</mml:mi></mml:math> th ( <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow> </mml:math> ) power of any bipartite assisted entanglement measure <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mi>E</mml:mi> <mml:mi>a</mml:mi></mml:msub> </mml:math> based on Eq. (1.2);(iii)tighter polygamy relation for the <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>ω</mml:mi></mml:math> th ( <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>ω</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow> </mml:math> ) power of any bipartite assisted entanglement measure <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mi>E</mml:mi> <mml:mi>a</mml:mi></mml:msub> </mml:math> based on Eq. (1.2). In the second part, using the tighter polygamy relation for the <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>ω</mml:mi></mml:math> th ( <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>ω</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow> </mml:math> ) power of CoA, we obtain good estimates or bounds for the <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>ω</mml:mi></mml:math> th ( <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>ω</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow> </mml:math> ) power of concurrence for any <i>N</i>-qubit pure states <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub><mml:mrow><mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>ψ</mml:mi> <mml:mo>⟩</mml:mo></mml:mrow> <mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi> <mml:msub><mml:mi>B</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn></mml:msub> <mml:mo>⋯</mml:mo> <mml:msub><mml:mi>B</mml:mi> <mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> under the partition <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi> <mml:msub><mml:mi>B</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn></mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow><mml:msub><mml:mi>B</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn></mml:msub> <mml:mo>⋯</mml:mo> <mml:msub><mml:mi>B</mml:mi> <mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> . Detailed examples are given to illustrate that our findings exhibit greater strength across all the region.