Asymptotic behavior of an integral equation of Allen-Cahn type

In this paper, we are concerned with the asymptotic behavior of solutions of an integral equation of the Allen-Cahn type <disp-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="u left-parenthesis x right-parenthesis equals ModifyingAbove l With right-arrow plus upper K left-parenthesis x right-parenthesis upper W Subscript beta comma p Baseline left-bracket u StartAbsoluteValue u StartAbsoluteValue left-parenthesis 1 minus StartAbsoluteValue u EndAbsoluteValue Superscript q 1 Baseline right-parenthesis StartAbsoluteValue 1 minus EndAbsoluteValue u EndAbsoluteValue Superscript q 1 minus 2 Baseline Superscript q 1 Baseline EndAbsoluteValue Superscript q 2 minus 2 Baseline right-bracket left-parenthesis x right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mover> <mml:mi>l</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> </mml:mover> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\begin{equation*} u(x)=\overrightarrow {l} +K(x)W_{\beta ,p}[u|u|^{q_1-2}(1-|u|^{q_1})|1-|u|^{q_1}|^{q_2-2}](x) \end{equation*}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </disp-formula> when <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartAbsoluteValue x EndAbsoluteValue right-arrow normal infinity"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">→</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">|x| \to \infty</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. Here <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="u colon double-struck upper R Superscript n Baseline right-arrow double-struck upper R Superscript k"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">→</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">u:{\mathbb {R}}^n\rightarrow {\mathbb {R}}^k</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is uniformly continuous, and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="k greater-than-or-equal-to 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">k \geq 1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n greater-than-or-equal-to 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n \geq 2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p greater-than 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p&gt;1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="beta greater-than 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\beta &gt;0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p beta greater-than n"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p\beta &gt;n</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="min left-brace right-brace comma q 1 comma q 2 greater-than 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo movablelimits="true" form="prefix">min</mml:mo> <mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\min \{q_1, q_2\} &gt;2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. In addition, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="ModifyingAbove l With right-arrow element-of double-struck upper R Superscript k"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mover> <mml:mi>l</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> </mml:mover> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\overrightarrow {l} \in {\mathbb {R}}^k</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is a constant vector and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper K left-parenthesis x right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">K(x)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is a nonnegative bounded function. We prove that if <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="u"> <mml:semantics> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">u</mml:annotation> </mml:semantics> </