Neck‐pinching of CP1$\mathbb {C}{\rm P}^1$‐structures in the PSL2C${\rm PSL}_2\mathbb {C}$‐character variety

We characterize a certain neck-pinching degeneration of (marked) <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi> <mml:msup><mml:mi>P</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn></mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> -structures on a closed oriented surface <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow> </mml:math> of genus at least two. In a more general setting, we take a path of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi> <mml:msup><mml:mi>P</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn></mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> -structures <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow><mml:msub><mml:mi>C</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi></mml:msub> <mml:mspace></mml:mspace> <mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>⩾</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> on <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow> </mml:math> that leaves every compact subset in its deformation space, such that the holonomy of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow><mml:msub><mml:mi>C</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi></mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> converges in the <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow><mml:msub><mml:mi>PSL</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn></mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> -character variety as <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> . Then, it is well known that the complex structure <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow><mml:msub><mml:mi>X</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi></mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow><mml:msub><mml:mi>C</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi></mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> also leaves every compact subset in the Teichmüller space of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow> </mml:math> . In this paper, under an additional assumption that <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow><mml:msub><mml:mi>X</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi></mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> is pinched along a loop <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow> </mml:math> on <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow> </mml:math> , we describe the limit of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow><mml:msub><mml:mi>C</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi></mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> from different perspectives: namely, in terms of the developing maps, holomorphic quadratic differentials, and pleated surfaces. The holonomy representations of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi> <mml:msup><mml:mi>P</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn></mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> -structures on <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow> </mml:math> are known to be nonelementary (i.e., strongly irreducible and unbounded). We also give a rather exotic example of such a path <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow><mml:msub><mml:mi>C</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi></mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> whose limit holonomy is the trivial representation.