Leptonic dipole operator with $$\Gamma _2$$ modular invariance in light of Muon $$(g-2)_\mu $$

Abstract We have studied the leptonic EDM and the LFV decays relating with the recent data of anomalous magnetic moment of muon, $$(g-2)_{\mu }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>μ</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> in the leptonic dipole operator. We have adopted the successful $$\Gamma _2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>Γ</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> modular invariant model by Meloni–Parriciatu as the flavor symmetry of leptons. Suppose the anomaly of $$(g-2)_{\mu }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>μ</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> , $$\Delta a_{\mu }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>μ</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> to be evidence of New Physics (NP), we have related it with the anomalous magnetic moment of the electron $$\Delta a_e$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>e</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> , the electron EDM $$d_e$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>e</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> and the $$\mu \rightarrow e \gamma $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mi>γ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> decay. We found that the NP contributions to $$\Delta a_{e(\mu )}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> are proportional to the lepton masses squared likewise the naive scaling $$\Delta a_\ell \propto m^2_\ell $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>ℓ</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>∝</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>ℓ</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> . The experimental constraint of $$|d_e|$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>e</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> is much tight compared with the one from the branching ratio $$\mathcal {B} (\mu \rightarrow e \gamma )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> in our framework. Supposing the phase of our model parameter $$\delta _{\alpha }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>δ</mml:mi> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> for the electron to be of order one, we have estimated the upper-bound of $$\mathcal {B}(\mu \rightarrow e \gamma )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , which is at most $$10^{-21}-10^{-20}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mn>10</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>21</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msup> <mml:mn>10</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>20</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> . If some model parameters are real, leptonic EDMs vanish since the CP phase of the modular form due to modulus $$\tau $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>τ</mml:mi> </mml:math> does not contribute to the EDM. However, we can obtain <jats:alternativ