On a mod 3 property of $$\ell $$-tuples of pairwise commuting permutations

Abstract Let $$S_n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> denote the symmetric group of permutations acting on n elements. We investigate the double sequence $$\{N_{\ell }(n)\}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mi>ℓ</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> counting the number of $$\ell $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>ℓ</mml:mi> </mml:math> tuples of elements of the symmetric group $$S_n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> , where the components commute, normalized by the order of $$S_n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> . Our focus lies on exploring log-concavity with respect to n : $$\begin{aligned} N_{\ell }(n)^2 - N_{\ell }(n-1) \,\, N_{\ell }(n+1) \ge 0. \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mi>ℓ</mml:mi> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mi>ℓ</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:msub> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mi>ℓ</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> We establish that this depends on $$n \pmod {3}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mspace/> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>mod</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> for sufficiently large $$\ell $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>ℓ</mml:mi> </mml:math> . These numbers are studied by Bryan and Fulman as the n th orbifold characteristics, generalizing work by Macdonald and Hirzebruch–Hofer concerning the ordinary and string-theoretic Euler characteristics of symmetric products. Notably, $$N_2(n)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> represents the partition numbers p ( n ), while $$N_{3}(n)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> represents the number of non-equivalent n -sheeted coverings of a torus studied by Liskovets and Medynkh. The numbers also appear in algebra since $$ \vert S_n \vert \,\, N_{\ell }(n) = \left| \textrm{Hom}\left( \mathbb {Z}^{\ell },S_n\right) \right| $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mspace/> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mi>ℓ</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mfenced> <mml:mtext>Hom</mml:mtext> <mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>Z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>ℓ</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mfenced> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </jats:inline-form