Finite Groups with Some Subgroups of Prime Power Order Satisfying the Partial $$ \Pi $$-property

Abstract Let H be a subgroup of a finite group G . We say that H satisfies the partial $$ \Pi $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Π</mml:mi> </mml:math> -property in G if there exists a G -chief series $$ \varGamma _{G}: 1 =G_{0}&lt; G_{1}&lt; \cdot \cdot \cdot &lt; G_{n}= G $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>Γ</mml:mi> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> of G such that $$ | G / G_{i-1}: N _{G/G_{i-1}} (HG_{i-1}/G_{i-1}\cap G_{i}/G_{i-1})| $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>∩</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> is a $$ \pi (HG_{i-1}/G_{i-1}\cap G_{i}/G_{i-1}) $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>π</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>∩</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> -number for every G -chief factor $$ G_{i}/G_{i-1} $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> of $$ \varGamma _{G} $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>Γ</mml:mi> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> , $$1\le i\le n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> . In this paper, we investigate the structure of a finite group G under the assumption that some subgroups of prime power order satisfy the partial $$ \Pi $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Π</mml:mi> </mml:math> -property.