On the Relation Between S-Spectrum and Right Spectrum

Abstract We use the $$\mathbb {R}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:math> -linearity of $$I\lambda -T$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> to define $$\sigma (T)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>σ</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , the right spectrum of a right $$\mathbb {H}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:math> -linear operator T in a right quaternionic Banach space. We show that $$\sigma (T)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>σ</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> coincides with the S -spectrum $$\sigma _S(T)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>σ</mml:mi> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> .