Transcendental Brauer–Manin obstructions on singular K3 surfaces

Let <i>E</i> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msup><mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo>'</mml:mo></mml:msup> </mml:math> be elliptic curves over <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>Q</mml:mi></mml:math> with complex multiplication by the ring of integers of an imaginary quadratic field <i>K</i> and let <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>Y</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow><mml:mspace></mml:mspace> <mml:mtext>Kum</mml:mtext> <mml:mspace></mml:mspace></mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:msup><mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo>'</mml:mo></mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow> </mml:math> be the minimal desingularisation of the quotient of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:msup><mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo>'</mml:mo></mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> by the action of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow> </mml:math> . We study the Brauer groups of such surfaces <i>Y</i> and use them to furnish new examples of transcendental Brauer-Manin obstructions to weak approximation.