Remarks on Mod-2 Elliptic Genus

Abstract For physicists: For supersymmetric quantum mechanics, there are cases when a mod-2 Witten index can be defined, even when a more ordinary $$\mathbb {Z}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Z</mml:mi> </mml:math> -valued Witten index vanishes. Similarly, for 2d supersymmetric quantum field theories, there are cases when a mod-2 elliptic genus can be defined, even when a more ordinary elliptic genus vanishes. We study such mod-2 elliptic genera in the context of $$\mathcal {N}{=}(0,1)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> supersymmetry, and show that they are characterized by mod-2 reductions of integral modular forms, under some assumptions. For mathematicians: We study the image of the standard homomorphism $$\begin{aligned} \pi _n\textrm{TMF}\rightarrow \pi _n\textrm{KO}((q))\simeq \mathbb {Z}/2((q)) \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>π</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mtext>TMF</mml:mtext> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>π</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mtext>KO</mml:mtext> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>≃</mml:mo> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> for $$n=8k+1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>8</mml:mn> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> or $$8k+2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>8</mml:mn> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , by relating them to the mod-2 reductions of integral modular forms.