Linear maps preserving the inclusion of fixed subsets into the local spectrum at some fixed vector

Abstract For a natural number $$n \ge 2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , denote by $$\mathcal {M}_{n}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> the space of all $$n\times n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> matrices over the complex field $$\mathbb {C}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>C</mml:mi> </mml:math> . Let $$x_0 \in \mathbb {C}^{n}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>C</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> be a fixed nonzero vector, and fix also two nonempty subsets $$K_1, K_2 \subseteq \mathbb {C}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>⊆</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , each having at most n distinct elements. Under the assumption that $$|K_1| \le |K_2|$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , we characterize linear bijective maps $$\varphi $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>φ</mml:mi> </mml:math> on $$\mathcal {M}_{n}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> having the property that, for each matrix T , we have that $$K_2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> is a subset of the local spectrum of $$\varphi (T)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>φ</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> at $$x_0 $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> whenever $$K_1 $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> is a subset of the local spectrum of T at $$x_0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> . As a corollary, we also characterize linear maps $$\varphi $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>φ</mml:mi> </mml:math> on $$\mathcal {M} _{n}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> having the property that, for each matrix T , we have that $$K_1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> is a subset of the local spectrum of T at $$x_0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> if and only if $$K_2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> is a subset