Refined geometric characterizations of weak p-quasiconformal mappings

Abstract In this paper, we consider refined geometric characterizations of weak p -quasiconformal mappings $$\varphi :\Omega \rightarrow \widetilde{\Omega }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>φ</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mover> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>~</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:math> , where $$\Omega$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Ω</mml:mi> </mml:math> and $$\widetilde{\Omega }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mover> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>~</mml:mo> </mml:mover> </mml:math> are domains in $${\mathbb {R}}^n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> . We prove that mappings with bounded geometric p -dilatation on the set $$\Omega {{\setminus }} S$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>\</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , where S is a set with $$\sigma$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>σ</mml:mi> </mml:math> -finite $$(n-1)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> -measure, are Sobolev $$W^1_{p,\text {loc}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mtext>loc</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msubsup> </mml:math> -mappings and generate bounded composition operators on Sobolev spaces.