Kontsevich graphs act on Nambu–Poisson brackets, I. New identities for Jacobian determinants

Abstract Nambu-determinant brackets on ℝ d ∋ x = ( x 1 , …, x d ), { f, g } d ( x ) = ϱ ( x ) · det ( ∂ ( f, g, a 1 , …, a d −2 ) / ∂ ( x 1 , …, x d )), with a i ∈ C ∞ (ℝ d ) and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mi>ϱ</mml:mi> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal">∂</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold-italic">x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="fraktur">X</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:msup> <mml:mi mathvariant="normal">(</mml:mi> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">)</mml:mi> </mml:math> , are a class of degenerate (rank ⩽ 2) Poisson structures with (non)linear coefficients, e.g., polynomials of arbitrarily high degree. With ‘good’ cocycles in the graph complex, Kontsevich associated universal – for all Poisson bi-vectors P on affine <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi>ℝ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>aff</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> – elements <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi>P</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>˙</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mover> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>Q</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>γ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>P</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>2</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi>ℝ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>aff</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> in the Lichnerowicz–Poisson second cohomology groups; we note that known graph cocycles γ preserve the Nambu–Poisson class { P ( ϱ , [ a ]), and we express, directly from γ , the evolution <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mover> <mml:mrow> <mml:mi>ϱ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>˙</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:math> , <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>˙</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:math> that induces <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi>P</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>˙</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:math> . Over all d ⩾ 2 at once, there is no ‘universal’ mechanism for the bi-vector cocycles <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi>Q</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>γ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> to be trivial, <jats:inline-formul