Kontsevich graphs act on Nambu–Poisson brackets, III. Uniqueness aspects

Abstract Kontsevich constructed a map between ‘good’ graph cocycles γ and infinitesimal deformations of Poisson bivectors on affine manifolds, that is, Poisson cocycles in the second Lichnerowicz–Poisson cohomology. For the tetrahedral graph cocycle γ 3 and for the class of Nambu-determinant Poisson bivectors P over ℝ 2 , ℝ 3 and ℝ 4 , we know the fact of trivialization, <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi>P</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>˙</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mover> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>〚</mml:mo> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>→</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>dim</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>γ3</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo>〛</mml:mo> </mml:math> , by using dimension-dependent vector fields <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>→</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>dim</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>γ3</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> expressed by Kontsevich (micro-)graphs. We establish that these trivializing vector fields <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>→</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>dim</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>γ3</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> are unique modulo Hamiltonian vector fields <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>→</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>P</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>〚</mml:mo> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo>〛</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , where d P is the Lichnerowicz–Poisson differential and where the Hamiltonians H are also represented by Kontsevich (micro-)graphs. However, we find that the choice of Kontsevich (micro-)graphs to represent the aforementioned multivectors is not unique.