The QED nonfactorizable correction to the semileptonic charmed three-body B decays

Abstract In this paper, the nonfactorizable photonic corrections to the effective four-fermion vertex for the $$\overline{B}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mover> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo>¯</mml:mo> </mml:mover> </mml:math> $${\rightarrow }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mo>→</mml:mo> </mml:math> $$D^{({*})}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> $$+$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:math> $${\ell }^{-}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>ℓ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> </mml:msup> </mml:math> $$+$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:math> $$\bar{\nu }_{\ell }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mover> <mml:mrow> <mml:mi>ν</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>¯</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mover> <mml:mi>ℓ</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> decays are considered at the quark level within SM, where $${\ell }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>ℓ</mml:mi> </mml:math> $$=$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mo>=</mml:mo> </mml:math> e , $${\mu }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>μ</mml:mi> </mml:math> and $${\tau }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>τ</mml:mi> </mml:math> . It is found that the QED corrections are closely related with the mass of the charged lepton. The QED contributions will enhance branching ratios, which results in the slight reduction of ratios $$R(D^{(*)})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mmultiscripts> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mrow/> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow/> <mml:mo>∗</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mmultiscripts> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> and the relationship $$R(D^{(*)})_{e}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mmultiscripts> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mmultiscripts> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mrow/> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow/> <mml:mo>∗</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mmultiscripts> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mrow/> </mml:mmultiscripts> </mml:mrow> </mml:math> &lt; $$R(D^{(*)})_{\mu }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mmultiscripts> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mmultiscripts> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mrow/> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow/> <mml:mo>∗</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mmultiscripts> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mrow/> </mml:mmultiscripts> </mml:mrow> </mml:math> .