Clebsch-Gordan Coefficients for Macdonald Polynomials

Abstract In this paper we use the double affine Hecke algebra to compute the Macdonald polynomial products $$E_\ell P_m$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mi>ℓ</mml:mi> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> and $$P_\ell P_m$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>ℓ</mml:mi> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> for type $$SL_2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> and type $$GL_2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> Macdonald polynomials. Our method follows the ideas of Martha Yip but executes a compression to reduce the sum from $$2\cdot 3^{\ell -1}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:msup> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mi>ℓ</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> signed terms to $$2\ell $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>ℓ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> positive terms. We show that our rule for $$P_\ell P_m$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>ℓ</mml:mi> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> is equivalent to a special case of the Pieri rule of Macdonald. Our method shows that computing $$E_\ell {\textbf {1}}_0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mi>ℓ</mml:mi> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> and $${\textbf {1}}_0 E_\ell {\textbf {1}}_0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mi>ℓ</mml:mi> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> in terms of a special basis of the double affine Hecke algebra provides universal compressed formulas for multiplication by $$E_\ell $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mi>ℓ</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> and $$P_\ell $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>ℓ</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> . The formulas for a specific products $$E_\ell P_m$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mi>ℓ</mml:mi> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> and $$P_\ell P_m$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>ℓ</mml:mi> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> are obtained by evaluating the universal formulas at $$t^{-\frac{1}{2}}q^{-\frac{m}{2}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> .