Sharp quantitative stability of Poincaré-Sobolev inequality in the hyperbolic space and applications to fast diffusion flows

Abstract Consider the Poincaré-Sobolev inequality on the hyperbolic space: for every $$n \ge 3$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> and $$1 &lt; p \le \frac{n+2}{n-2},$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> there exists a best constant $$S_{n,p, \lambda }({\mathbb {B}}^{n})&gt;0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>B</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> such that $$\begin{aligned} S_{n, p, \lambda }({\mathbb {B}}^{n})\left( ~\int \limits _{{\mathbb {B}}^{n}}|u|^{{p+1}} \, \textrm{d}v_{{\mathbb {B}}^n} \right) ^{\frac{2}{p+1}} \le \int \limits _{{\mathbb {B}}^{n}}\left( |\nabla _{{\mathbb {B}}^{n}}u|^{2}-\lambda u^{2}\right) \, \textrm{d}v_{{\mathbb {B}}^n}, \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>B</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mfenced> <mml:mspace/> <mml:munder> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>B</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:munder> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mspace/> <mml:mtext>d</mml:mtext> <mml:msub> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>B</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:msub> </mml:mfenced> <mml:mfrac> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:msup> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:munder> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>B</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:munder> <mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>B</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mfenced> <mml:mspace/> <mml:mtext>d</mml:mtext> <mml:msub> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>B</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> holds for all $$u\in C_c^{\infty }({\mathbb {B}}^n),$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>B</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>)</m