Oka tubes in holomorphic line bundles

Abstract Let ( E , h ) be a semipositive hermitian holomorphic line bundle on a compact complex manifold X with $$\dim X&gt;1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>dim</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> . Assume that for each point $$x\in X$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> there exists a divisor $$D\in |E|$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> in the complete linear system determined by E whose complement $$X\setminus D$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>\</mml:mo> <mml:mi>D</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> is a Stein neighbourhood of x with the density property. Then, the disc bundle $$\Delta _h(E)=\{e\in E:|e|_h&lt;1\}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mi>h</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>h</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> is an Oka manifold while $$D_h(E)=\{e\in E:|e|_h&gt;1\}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>h</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>h</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> is a Kobayashi hyperbolic domain. In particular, the zero section of E admits a basis of Oka neighbourhoods $$\{|e|_h&lt;c\}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:msub> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>h</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> with $$c&gt;0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> . We show that this holds if X is a rational homogeneous manifold of dimension $$&gt;1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> . This class of manifolds includes complex projective spaces, Grassmannians, and flag manifolds. This phenomenon contributes to the heuristic principle that Oka properties are related to metric positivity of complex manifolds.