Reflexive symmetric differentials and quotients of bounded symmetric domains

Abstract For each classical irreducible bounded symmetric domain $$\mathcal {D}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>D</mml:mi> </mml:math> , Klingler has computed the minimum number $$m_{\mathcal {D}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>D</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> such that any smooth projective quotient $$X=\mathcal {D}/\Gamma $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mi>Γ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , for $$\Gamma \in \text {Aut}^0(\mathcal {D})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Γ</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mtext>Aut</mml:mtext> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , satisfies $$H^0(X,\textrm{Sym}^i\Omega ^1_X)=0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mtext>Sym</mml:mtext> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msup> <mml:msubsup> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> for $$0&lt;i&lt;m_{\mathcal {D}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>D</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> . In this article, we extend Klingler’s result to the case when X is normal and projective. This, together with a normal version of Arapura’s result about the relationship between the vanishing of global symmetric differentials on X and the rigidity of finite dimensional representations of $$\pi _1(X)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>π</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , gives rigidity statements for representations of $$\pi _1(X)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>π</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> and $$\pi _1(X_{reg})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>π</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>reg</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> in a low dimensional range, when X is a normal projective quotient of a bounded symmetric domain.