Nonresonant renormalization scheme for twist-2 operators in SU(N) Yang–Mills theory

Abstract Recently, the short-distance asymptotics of the generating functional of n -point correlators of twist-2 operators in SU( N ) Yang–Mills (YM) theory has been worked out in Bochicchio et al. (Phys Rev D 108:054023, 2023). The above computation relies on a basis change of renormalized twist-2 operators, where $$-\gamma (g)/ \beta (g)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> reduces to $$\gamma _0/ (\beta _0\,g)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mspace/> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> to all orders of perturbation theory, with $$\gamma _0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> diagonal, $$\gamma (g) = \gamma _0 g^2+\cdots $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mo>⋯</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> the anomalous-dimension matrix and $$\beta (g) = -\beta _0 g^3+\cdots $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mo>⋯</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> the beta function. The construction is based on a novel geometric interpretation of operator mixing (Bochicchio in Eur Phys J C 81:749, 2021), under the assumption that the eigenvalues of the matrix $$\gamma _0/ \beta _0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> satisfy the nonresonant condition $$\lambda _i-\lambda _j\ne 2k$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>≠</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , with $$\lambda _i$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> in nonincreasing order and $$k\in {\mathbb {N}}^+$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> . The nonresonant condition has been numerically verified up to $$i,j=10^4$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mn>10</mml:mn> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> in Bochicchio et al. (Phys Rev D 108:054023, 2023). In the present paper we provide a number theoretic proof of the nonresonant condition for twist-2 operators essentially based on the classic result that Harmonic numbers are not integers. Our proof in YM theory can be extended with minor modifications to twist-2 operators in $$\mathcal {N}=1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> SUSY YM theory, large- N QCD with massless quarks and massless QCD-like theories.