An Equivalence Between Two Models of $$\infty $$-Categories of Enriched Presheaves

Abstract Let $${{\mathcal {O}}}\rightarrow {\text {BM}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>O</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mtext>BM</mml:mtext> </mml:mrow> </mml:math> be a $${\text {BM}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mtext>BM</mml:mtext> </mml:math> -operad that exhibits an $$\infty $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:math> -category $${{\mathcal {D}}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>D</mml:mi> </mml:math> as weakly bitensored over non-symmetric $$\infty $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:math> -operads $${{\mathcal {V}}}\rightarrow \text {Ass }, {{\mathcal {W}}}\rightarrow \text {Ass }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mtext>Ass</mml:mtext> <mml:mspace/> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mtext>Ass</mml:mtext> <mml:mspace/> </mml:mrow> </mml:math> and $${{\mathcal {C}}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>C</mml:mi> </mml:math> a $${{\mathcal {V}}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>V</mml:mi> </mml:math> -enriched $$\infty $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:math> -precategory. We construct an equivalence $$\begin{aligned} \text {Fun}_{\text {Hin}}^{{\mathcal {V}}}({{\mathcal {C}}},{{\mathcal {D}}}) \simeq \text {Fun}^{{\mathcal {V}}}({{\mathcal {C}}},{{\mathcal {D}}}) \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mtext>Fun</mml:mtext> <mml:mrow> <mml:mtext>Hin</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mi>V</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>≃</mml:mo> <mml:msup> <mml:mtext>Fun</mml:mtext> <mml:mi>V</mml:mi> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> of $$\infty $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:math> -categories weakly right tensored over $${{\mathcal {W}}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>W</mml:mi> </mml:math> between Hinich’s construction of $${{\mathcal {V}}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>V</mml:mi> </mml:math> -enriched functors of Hinich (Adv Math 367:107129, 2020) and our construction of $${{\mathcal {V}}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>V</mml:mi> </mml:math> -enriched functors of Heine (Adv Math 417:108941, 2023).