Some new congruences for overcubic partitions with r-tuples

Abstract Kim (Ramanujan Math Soc Lect Notes Ser 14:157–163, 2010) introduced the overcubic partition function $$\overline{a}(n)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mover> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>¯</mml:mo> </mml:mover> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , which represents the number of all the overlined versions of the cubic partition counted by a ( n ). Let $$ \overline{b}_r(n)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mover> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mo>¯</mml:mo> </mml:mover> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> denote the number of overcubic partitions of n with r -tuples. Several authors established many particular and infinite families of congruences for $$ \overline{b}_2(n)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mover> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mo>¯</mml:mo> </mml:mover> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> . In this paper, we show that $$ \overline{b}_{2^\beta m+t}(n)\equiv \overline{b}_{t}(n) \,(mod \,2^{\beta +1}), $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mover> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mo>¯</mml:mo> </mml:mover> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>β</mml:mi> </mml:msup> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>≡</mml:mo> <mml:msub> <mml:mover> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mo>¯</mml:mo> </mml:mover> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>o</mml:mi> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mspace/> <mml:msup> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> where $$\beta \ge 1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , $$m\ge 0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , and $$t\ge 1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> are integers. We also prove some new congruences modulo 8, 16 and 32 for $$\overline{b}_{4m+2}(n)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mover> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mo>¯</mml:mo> </mml:mover> <mml:mrow> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , $$\overline{b}_{4m+3}(n)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mover> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mo>¯</mml:mo> </mml:mover> <mml:mrow> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , $$\overline{b}_{8m+2}(n)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mover> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mo>¯</mml:mo> </mml:mover> <mml:mrow> <mml:mn>8</mml:mn> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , $$\overline{b}_{8m+4}(n)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mover> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mo>¯</mml:mo> </mml:mover> <mml:mrow> <mml:mn>8</mml:mn> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> and $$\overline{b}_{16m+4}(n)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">