On maximal hyperplane sections of the unit ball of $$l_p^n$$ for $$p>2$$

Abstract The maximal hyperplane section of the $$l_\infty ^n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mi>l</mml:mi> <mml:mi>∞</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:math> -ball, i.e. of the n -cube, is the one perpendicular to $$\frac{1}{\sqrt{2}} (1,1,0 ,\ldots ,0)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:msqrt> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msqrt> </mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , as shown by Ball. Eskenazis, Nayar and Tkocz extended this result to the $$l_p^n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mi>l</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:math> -balls for very large $$p \ge 10^{15}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:msup> <mml:mn>10</mml:mn> <mml:mn>15</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> . By Oleszkiewicz, Ball’s result does not transfer to $$l_p^n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mi>l</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:math> for $$2&lt; p &lt; p_0 \simeq 26.265$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>≃</mml:mo> <mml:mn>26.265</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> . Then the hyperplane section perpendicular to the main diagonal yields a counterexample for large dimensions n . Suppose that $$p_0 \le p &lt; \infty $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> . We show that the analogue of Ball’s result holds in $$l_p^n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mi>l</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:math> -balls for all hyperplanes with normal unit vectors a , if all coordinates of a have modulus $$\le \frac{1}{\sqrt{2}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:msqrt> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msqrt> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:math> and p has distance $$\ge 2^{-p}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:msup> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> to the even integers. Under similar assumptions, we give a Gaussian upper bound for $$20&lt; p &lt; p_0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>20</mml:mn> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> .