On the Dirichlet Problem for a Class of Nonlinear Degenerate Elliptic Equations in Weighted Sobolev Spaces

Abstract In this paper we are interested in the existence of solutions for the Dirichlet problem associated with the degenerate nonlinear elliptic equations <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <m:mrow> <m:mtable> <m:mtr> <m:mtd> <m:mrow> <m:mo>−</m:mo> <m:mo> </m:mo> <m:mtext>div</m:mtext> <m:mfenced close="]" open="["> <m:mrow> <m:mi>𝒜</m:mi> <m:mfenced> <m:mrow> <m:mi>x</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mo>Δ</m:mo> <m:mi>u</m:mi> </m:mrow> </m:mfenced> <m:mo> </m:mo> <m:msub> <m:mi>ω</m:mi> <m:mn>1</m:mn> </m:msub> <m:mo>+</m:mo> <m:mo>ℬ</m:mo> <m:mfenced> <m:mrow> <m:mi>x</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mo>∇</m:mo> <m:mi>u</m:mi> </m:mrow> </m:mfenced> <m:msub> <m:mi>ν</m:mi> <m:mn>1</m:mn> </m:msub> </m:mrow> </m:mfenced> <m:mo>+</m:mo> <m:mi>ℋ</m:mi> <m:mfenced> <m:mrow> <m:mi>x</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mo>∇</m:mo> <m:mi>u</m:mi> </m:mrow> </m:mfenced> <m:msub> <m:mi>ν</m:mi> <m:mn>2</m:mn> </m:msub> <m:mo>+</m:mo> <m:msup> <m:mrow> <m:mfenced close="|" open="|"> <m:mi>u</m:mi> </m:mfenced> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>p</m:mi> <m:mo>−</m:mo> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:mo> </m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:mo> </m:mo> <m:msub> <m:mi>ω</m:mi> <m:mn>2</m:mn> </m:msub> </m:mrow> </m:mtd> </m:mtr> <m:mtr> <m:mtd> <m:mrow> <m:mo>−</m:mo> <m:mstyle displaystyle="true"> <m:munderover> <m:mo>∑</m:mo> <m:mrow> <m:mi>i</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>j</m:mi> <m:mo>=</m:mo> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> <m:mi>n</m:mi> </m:munderover> <m:mrow> <m:msub> <m:mi>D</m:mi> <m:mi>j</m:mi> </m:msub> <m:mfenced> <m:mrow> <m:msub> <m:mi>a</m:mi> <m:mrow> <m:mi mathvariant="italic">ij</m:mi> </m:mrow> </m:msub> <m:mfenced> <m:mi>x</m:mi> </m:mfenced> <m:msub> <m:mi>D</m:mi> <m:mi>i</m:mi> </m:msub> <m:mi>u</m:mi> <m:mfenced> <m:mi>x</m:mi> </m:mfenced> </m:mrow> </m:mfenced> </m:mrow> </m:mstyle> <m:mo>=</m:mo> <m:msub> <m:mi>f</m:mi> <m:mn>0</m:mn> </m:msub> <m:mfenced> <m:mi>x</m:mi> </m:mfenced> <m:mo>−</m:mo> <m:mstyle displaystyle="true"> <m:munderover> <m:mo>∑</m:mo> <m:mrow> <m:mi>j</m:mi> <m:mo>=</m:mo> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> <m:mi>n</m:mi> </m:munderover> <m:mrow> <m:msub> <m:mi>D</m:mi> <m:mi>j</m:mi> </m:msub> <m:msub> <m:mi>f</m:mi> <m:mi>j</m:mi> </m:msub> <m:mfenced> <m:mi>x</m:mi> </m:mfenced> </m:mrow> </m:mstyle> <m:mo> </m:mo> <m:mo> </m:mo> <m:mo> </m:mo> <m:mo> </m:mo> <m:mo> </m:mo> <m:mtext>in</m:mtext> <m:mo> </m:mo> <m:mo> </m:mo> <m:mo>Ω</m:mo> <m:mo>,</m:mo> </m:mrow> </m:mtd> </m:mtr> <m:mtr> <m:mtd> <m:mrow> <m:mi>u</m:mi> <m:mfenced> <m:mi>x</m:mi> </m:mfenced>