On stability of <italic>ε</italic>-norm-additive mappings between <italic>L<sup>p</sup></italic> spaces

Let <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mn>,</mml:mn> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:msub> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mn>,</mml:mn> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math></inline-formula>, <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1,</mml:mn> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math></inline-formula> be two measure spaces, <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math></inline-formula>, <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mn>,</mml:mn> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:msub> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mn>,</mml:mn> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math></inline-formula>, <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Y</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mn>,</mml:mn> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:msub> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mn>,</mml:mn> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math></inline-formula>, and let <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>Y</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math></inline-formula> be a standard <italic>ε</italic>-norm-additive mapping, i.e., <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math></inline-formula> and <table-wrap content-type="dispformula"> <table cellpadding="0" cellspacing="0" width="100%"> <tbody> <tr> <td> <disp-formula id="DF4"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mtable columnalign="left" width="100%"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>∥</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>∥</mml:mo> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mo>∥</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>∥</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>ε</mml:mi> <mml:mn>,</mml:mn> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo>∀</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>,</mml:mn> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mn>.</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> </td> </tr> </tbody> </table> </table-wrap> <p indent="0mm">In this paper, we show that if <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>Y</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math></inline-formula> is a non-surjective standard <italic>ε</italic>-norm-additive mapping, then there exists a bounded linear surjective operator <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>Y</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math></inline-formula> with <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>∥</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>∥</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math></inline-formula> such that <table-wrap content-type="dispformula"> <table cellpadding="0" cellspacing="0" width="100%"> <tbody> <tr> <td> <disp-formula id="DF5"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mtable columnalign="left" width="100%"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>‖</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>‖</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mi>ε</mml:mi> <mml:mn>,</mml:mn> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo>∀</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mn>.</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> </td> </tr> </tbody> </table> </table-wrap> <p indent="0mm">Moreover, if <italic>f</italic> is almost surjective, then there exists a linear surjective isometry <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>Y</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math></inline-formula> such that <table-wrap content-type="dispformula"> <table cellpadding="0" cellspacing="0" width="100%"> <tbody> <tr> <td> <disp-formula id="DF6"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mtable columnalign="left" width="100%"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>‖</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>‖</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mi>ε</mml:mi> <mml:mn>,</mml:mn> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo>∀</mml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mn>.</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> </td> </tr> </tbody> </table> </table-wrap> <p indent="0mm">The estimates “<inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mi>ε</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math></inline-formula>” in above results are optimal.