Anisotropic Magnetized Asteroseismic Waves

Abstract We solve for waves in a polytropic, stratified plasma with a spatially varying background magnetic field that points along the horizontal x -direction, and with gravity that is directed along the vertical z -direction. Force balance determines the magnitude of the background magnetic field, <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi>B</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo>∼</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> , where n is the polytropic index. Using numerical and asymptotic methods, we deduce an explicit dispersion relation for fast pressure-driven waves: <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:msup> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>∼</mml:mo> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mfenced close=")" open="("> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msup> <mml:mfenced close=")" open="("> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="true">/</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">A</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>γ</mml:mi> </mml:math> + <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>cos</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>θ</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>cos</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>θ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true">/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:math> . Here, Ω is the frequency, K is the wavenumber, θ is the angle the wavevector makes with the background magnetic field, M A is the Alfvénic Mach number, and m is an integer representing the eigenstate. We discuss the roles of such an explicit formula in asteroseismology.