On comparison between the distance energies of a connected graph

Let <i>G</i> be a simple connected graph of order <i>n</i> having Wiener index <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>W</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo></mml:math> . The distance, distance Laplacian and the distance signless Laplacian energies of <i>G</i> are respectively defined as <DispFormula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow> <mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>υ</mml:mi></mml:mrow> <mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow> <mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace></mml:mspace> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow> <mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>υ</mml:mi></mml:mrow> <mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow> <mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mover><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow> <mml:mo>‾</mml:mo></mml:mover> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mspace></mml:mspace> <mml:mtext>and</mml:mtext> <mml:mspace></mml:mspace> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow> <mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>υ</mml:mi></mml:mrow> <mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow> <mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mover><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow> <mml:mo>‾</mml:mo></mml:mover> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow> </mml:math> </DispFormula> where <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>υ</mml:mi></mml:mrow> <mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow> <mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>υ</mml:mi></mml:mrow> <mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow> <mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>υ</mml:mi></mml:mrow> <mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow> <mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi></mml:math> are respectively the distance, distance Laplacian and the distance signless Laplacian eigenvalues of <i>G</i> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mover><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow> <mml:mo>‾</mml:mo></mml:mover> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow> <mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:math> is the average transmission degree. In this paper, we will study the relation between <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo></mml:math> , <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo></mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo></mml:math> . We obtain some necessary conditions for the inequalities <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo></mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo></mml:math> to hold. We will show for graphs with one positive distance eigenvalue the inequality <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo></mml:math> always holds. Further, we will show for the complete bipartite graphs the inequality <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo></mml:math> holds. We end this paper by computational results on graphs of order at most 6.