On the essential norms of Toeplitz operators on abstract Hardy spaces built upon Banach function spaces

Abstract Let X be a Banach function space over the unit circle such that the Riesz projection P is bounded on X and let H [ X ] be the abstract Hardy space built upon X . We show that the essential norm of the Toeplitz operator $$T(a):H[X]\rightarrow H[X]$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>]</mml:mo> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> coincides with $$\Vert a\Vert _{L^\infty }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>‖</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>‖</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msup> </mml:msub> </mml:math> for every $$a\in C+H^\infty $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> if and only if the essential norm of the backward shift operator $$T(\textbf{e}_{-1}):H[X]\rightarrow H[X]$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> is equal to one, where $$\textbf{e}_{-1}(z)=z^{-1}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> . This result extends an observation by Böttcher, Krupnik, and Silbermann for the case of classical Hardy spaces.