Global boundedness of solutions to a chemotaxis consumption model with signal dependent motility and logistic source

This paper deals with the following chemotaxis system: <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mfenced close="" open="{" separators=""> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mfenced close=")" open="(" separators=""> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mspace width="0.166667em"/> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mspace width="0.166667em"/> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mspace width="0.166667em"/> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> </mml:mfenced> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mspace width="0.166667em"/> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mspace width="0.166667em"/> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="4pt"/> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="4pt"/> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mfenced> </mml:math> under homogeneous Neumann boundary conditions in a bounded domain <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>ℝ</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> with smooth boundary. Here, the functions <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> are as: <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mspace width="1em"/> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mspace width="1em"/> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mspace width="0.166667em"/> <mml:msup> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mi>′</mml:mi> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> where <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> For the above system, we prove that the correspo