On the sharpness of some quantitative Muckenhoupt–Wheeden inequalities

In the recent work [Cruz-Uribe et al. (2021)] it was obtained that <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>ℝ</mml:mi> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>}</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>≲</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:mfrac> <mml:msub> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>ℝ</mml:mi> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:msup> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mspace width="0.166667em"/> <mml:mi mathvariant="normal">d</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> both in the matrix and scalar settings, where <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:math> is either the Hardy–Littlewood maximal function or any Calderón–Zygmund operator. In this note we show that the quadratic dependence on <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:msub> </mml:math> is sharp. This is done by constructing a sequence of scalar-valued weights with blowing up characteristics so that the corresponding bounds for the Hilbert transform and maximal function are exactly quadratic.