The Finite Frame Property of Some Extensions of the Pure Logic of Necessitation

Abstract We study the finite frame property of some extensions of Fitting, Marek, and Truszczyński’s pure logic of necessitation $$\textbf{N}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:math> . For any natural numbers m , n , we introduce the logic $$\textbf{N}^+\textbf{A}_{m,n}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> by adding the single axiom scheme $$\Box ^n \varphi \rightarrow \Box ^m \varphi $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mo>□</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mi>φ</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:msup> <mml:mo>□</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msup> <mml:mi>φ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> and the rule $$\dfrac{\lnot \Box \varphi }{\lnot \Box \Box \varphi }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mstyle> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mo>¬</mml:mo> <mml:mo>□</mml:mo> <mml:mi>φ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>¬</mml:mo> <mml:mo>□</mml:mo> <mml:mo>□</mml:mo> <mml:mi>φ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mstyle> </mml:math> ( $${\text {Ros}}^\Box $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mtext>Ros</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mo>□</mml:mo> </mml:msup> </mml:math> ) into $$\textbf{N}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:math> . We prove the finite frame property of $$\textbf{N}^+\textbf{A}_{m, n}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> with respect to Fitting, Marek, and Truszczyński’s relational semantics. We also prove that for $$n \ge 2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , the logic obtained by removing the rule $${\text {Ros}}^\Box $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mtext>Ros</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mo>□</mml:mo> </mml:msup> </mml:math> from $$\textbf{N}^+\textbf{A}_{0, n}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> is incomplete with respect to that semantics.