Existence and absence of Killing horizons in static solutions with symmetries

Abstract Without specifying a matter field nor imposing energy conditions, we study Killing horizons in <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mtext>⩾</mml:mtext> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> -dimensional static solutions in general relativity with an <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> -dimensional Einstein base manifold. Assuming linear relations <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">r</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>≃</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>χ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">r</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi>ρ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>≃</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>χ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi>ρ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> near a Killing horizon between the energy density ρ , radial pressure <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">r</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> , and tangential pressure p 2 of the matter field, we prove that any non-vacuum solution satisfying <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>χ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">r</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> ( <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>χ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">r</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>≠</mml:mo> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> ) or <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>χ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">r</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> does not admit a horizon as it becomes a curvature singularity. For <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>χ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">r</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>χ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">r</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , non-vacuum solutions admit Killing horizons, on which there exists a matter field only for <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>χ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">r</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </jats:inli