On how finite β and three-dimensional magnetic perturbations affect the instability of toroidal ion temperature gradient mode

Abstract The effects of finite <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mi>β</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> (the ratio of plasma kinetic pressure to magnetic pressure) and three-dimensional (3D) magnetic perturbations (MPs) on the instability of toroidal ion temperature gradient (ITG) mode are studied in this work. The expression of ion magnetic drift frequency <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>ω</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> modified by the effects from both finite <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mi>β</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> and 3D MPs is firstly derived based on the local 3D equilibrium model. Then, under the assumptions of adiabatic electrons and localized mode structure around the outboard mid-plane ( <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>ϑ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> ), the dispersion equation of the long wavelength toroidal ITG mode with considering the parallel ion dynamics is derived and solved. The results show that the distribution of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>ω</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> around the outboard mid-plane, including both <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>ω</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>ω</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>ϑ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>ω</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>′</mml:mi> <mml:mi>′</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo>≡</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mtext>d</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>ω</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext>d</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>ϑ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi>