Revisiting products of the form X times a linearized polynomial L(X)

Abstract For a q -polynomial L over a finite field $$\mathbb {F}_{q^n}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:msub> </mml:math> , we characterize the differential spectrum of the function $$f_L:\mathbb {F}_{q^n} \rightarrow \mathbb {F}_{q^n}, x \mapsto x \cdot L(x)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mi>L</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:msub> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>↦</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> and show that, for $$n \le 5$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mn>5</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , it is completely determined by the image of the rational function $$r_L :\mathbb {F}_{q^n}^* \rightarrow \mathbb {F}_{q^n}, x \mapsto L(x)/x$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mi>L</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msubsup> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>↦</mml:mo> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> . This result follows from the classification of the pairs ( L , M ) of q -polynomials in $$\mathbb {F}_{q^n}[X]$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , $$n \le 5$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mn>5</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , for which $$r_L$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mi>L</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> and $$r_M$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> have the same image, obtained in Csajbók et al. (Ars Math Contemp 16(2):585–608, 2019). For the case of $$n&gt;5$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>5</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , we pose an open question on the dimensions of the kernels of $$x \mapsto L(x) - ax$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>↦</mml:mo> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> for $$a \in \mathbb {F}_{q^n}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> . We further present a link between functions $$f_L$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mi>L</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> of differential uniformity bounded above by q and scattered q -polynomials and show that, for odd values of q , we can construct CCZ-inequivalent functions $$f_M$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> </jats:inline-formu