Finite element approximation of scalar curvature in arbitrary dimension

We analyze finite element discretizations of scalar curvature in dimension <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper N greater-than-or-equal-to 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo> ≥ </mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">N \ge 2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . Our analysis focuses on piecewise polynomial interpolants of a smooth Riemannian metric <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="g"> <mml:semantics> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">g</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> on a simplicial triangulation of a polyhedral domain <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Omega subset-of double-struck upper R Superscript upper N"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> Ω </mml:mi> <mml:mo> ⊂ </mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\Omega \subset \mathbb {R}^N</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> having maximum element diameter <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="h"> <mml:semantics> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">h</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . We show that if such an interpolant <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="g Subscript h"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mi>h</mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">g_h</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> has polynomial degree <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="r greater-than-or-equal-to 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo> ≥ </mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">r \ge 0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and possesses single-valued tangential-tangential components on codimension-1 simplices, then it admits a natural notion of (densitized) scalar curvature that converges in the <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H Superscript negative 2 Baseline left-parenthesis normal upper Omega right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> Ω </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">H^{-2}(\Omega )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -norm to the (densitized) scalar curvature of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="g"> <mml:semantics> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">g</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> at a rate of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper O left-parenthesis h Superscript r plus 1 Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>O</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">O(h^{r+1})</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> as <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="h right-arrow 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mo stretchy="false"> → </mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">h \to 0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , provided that either <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper N equals 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">N = 2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> or <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="r greater-than-or-equal-to 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo> ≥ </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">r \ge 1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . As a special case, our result implies t