On the Superadditive Pressure for 1-Typical, One-Step, Matrix-Cocycle Potentials

Abstract Let $$(\Sigma _T,\sigma )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Σ</mml:mi> <mml:mi>T</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>σ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> be a subshift of finite type with primitive adjacency matrix $$T$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>T</mml:mi> </mml:math> , $$\psi :\Sigma _T \rightarrow \mathbb {R}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>ψ</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Σ</mml:mi> <mml:mi>T</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> a Hölder continuous potential, and $$\mathcal {A}:\Sigma _T \rightarrow \textrm{GL}_d(\mathbb {R})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Σ</mml:mi> <mml:mi>T</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:msub> <mml:mtext>GL</mml:mtext> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> a 1-typical, one-step cocycle. For $$t \in \mathbb {R}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> consider the sequences of potentials $$\Phi _t=(\varphi _{t,n})_{n \in \mathbb {N}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>Φ</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>φ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> defined by $$\begin{aligned}\varphi _{t,n}(x):=S_n \psi (x) + t\log \Vert \mathcal {A}^n(x)\Vert , \, \forall n \in \mathbb {N}.\end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>φ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>ψ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>log</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>‖</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>‖</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mo>∀</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> Using the family of transfer operators defined in this setting by Park and Piraino, for all $$t&lt;0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> sufficiently close to 0 we prove the existence of Gibbs-type measures for the superadditive sequences of potentials $$\Phi _t$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>Φ</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> . This extends the results of the well-understood subadditive case where $$t \ge 0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> . Prior to this, Gibbs-type measures were only known to exist for $$t&lt;0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> in the conformal, the reducible, the positive, or the dominated, planar settings, in which case they are Gibbs measures in the classical sense. We further prove that the topological pressure function $$t \mapsto P_{\textrm{top}}(\Phi _t,\sigma )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>↦</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mtext>top</mml:mtext> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Φ</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>σ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo>