Well-posedness for the NLS hierarchy

Abstract We prove well-posedness for higher-order equations in the so-called NLS hierarchy (also known as part of the AKNS hierarchy) in almost critical Fourier–Lebesgue spaces and in modulation spaces. We show the j th equation in the hierarchy is locally well-posed for initial data in $${{\hat{H}}}^s_r({\mathbb {R}})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mover> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo>^</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> for $$s \ge \frac{j-1}{r'}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:math> and $$1 &lt; r \le 2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> and also in $$M^s_{2, p}({\mathbb {R}})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> for $$s = \frac{j-1}{2}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:math> and $$2 \le p &lt; \infty $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> . Supplementing our results with corresponding ill-posedness results in Fourier–Lebesgue and modulation spaces shows optimality. Using the conserved quantities derived in Koch and Tataru (Duke Math J 167(17), 3207–3313, 2018), we argue that the hierarchy equations are globally well-posed for data in $$H^s({\mathbb {R}})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> for $$s \ge \frac{j-1}{2}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:math> . Our arguments are based on the Fourier restriction norm method in Bourgain spaces adapted to our data spaces and bi- and trilinear refinements of Strichartz estimates.