Elliptic fourth-order operators with Wentzell boundary conditions on Lipschitz domains

Abstract For bounded domains $$\Omega $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Ω</mml:mi> </mml:math> with Lipschitz boundary $$\Gamma $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Γ</mml:mi> </mml:math> , we investigate boundary value problems for elliptic operators with variable coefficients of fourth-order subject to Wentzell (or dynamic) boundary conditions. Using form methods, we begin by showing general results for an even wider class of operators of type $$\begin{aligned} {\mathcal {A}}=\begin{pmatrix} B^*B &amp; 0 \\ -{\mathscr {N}}^{\mathfrak {b}}B &amp; \gamma \end{pmatrix}, \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> <mml:mi>B</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>b</mml:mi> </mml:msup> <mml:mi>B</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi>γ</mml:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> where B is associated to a quadratic form $${\mathfrak {b}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>b</mml:mi> </mml:math> and $${\mathscr {N}}^{{\mathfrak {b}}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>b</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> an abstractly defined co-normal Neumann trace. Even in this general setting, we prove generation of an analytic semigroup on the product space $${\mathcal {H}}:=L^2(\Omega ) \times L^2(\Gamma )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Γ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> . Using recent results concerning weak co-normal traces, we apply our abstract theory to the elliptic fourth-order case and are able to fully characterize the domain in terms of Sobolev regularity for operators in divergence form $$B=-\mathop {{div} }Q \nabla $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>div</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mi>∇</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> with $$Q \in C^{1,1}({\overline{\Omega }},{\mathbb {R}}^{d\times d}),$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mover> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>¯</mml:mo> </mml:mover> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> also obtaining Hölder-regularity of solutions. Finally, we also discuss asymptotic behavior and (eventual) positivity.