Spectral theory for fractal pseudodifferential operators

Abstract The paper deals with the distribution of eigenvalues of the compact fractal pseudodifferential operator $$T^\mu _\tau $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>τ</mml:mi> <mml:mi>μ</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:math> , $$\begin{aligned} \big ( T^\mu _\tau f\big )(x) = \int _{{{\mathbb {R}}}^n} e^{-ix\xi } \, \tau (x,\xi ) \, \big ( f\mu \big )^\vee (\xi ) \, {\mathrm d}\xi , \qquad x\in {{\mathbb {R}}}^n, \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>τ</mml:mi> <mml:mi>μ</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>ξ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mspace/> <mml:mi>τ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>∨</mml:mo> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> in suitable special Besov spaces $$B^s_p ({{\mathbb {R}}}^n) = B^s_{p,p} ({{\mathbb {R}}}^n)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , $$s&gt;0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , $$1&lt;p&lt;\infty $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> . Here $$\tau (x,\xi )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>τ</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> are the symbols of (smooth) pseudodifferential operators belonging to appropriate Hörmander classes $$\Psi ^\sigma _{1, \delta } ({{\mathbb {R}}}^n)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>Ψ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>δ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>σ</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , $$\sigma &lt;0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>σ</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , $$0 \le \delta \le 1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>δ</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> (including the exotic case $$\delta =1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>δ</mml:mi>