The impact of a random metric upon a diffusing particle

We show that if the singularity of the covariance of the random metric is <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup><mml:mrow><mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo></mml:mrow> <mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> then the mean value of the fourth power of the distance achieved in time t by a diffusing particle behaves as <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi> <mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> for a small t.