Further than Descartes’ rule of signs

The sign pattern defined by the real polynomial <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>Σ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> , <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>≠</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , is the string <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>σ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">sgn</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>...</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">sgn</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> . The quantities <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi mathvariant="normal">pos</mml:mi> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi mathvariant="normal">neg</mml:mi> </mml:math> of positive and negative roots of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Q</mml:mi> </mml:math> satisfy Descartes’ rule of signs. A couple <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>σ</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">pos</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">neg</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , where <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>σ</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> is a sign pattern of length <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , is realizable if there exists a polynomial <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Q</mml:mi> </mml:math> with <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi mathvariant="normal">pos</mml:mi> </mml:math> positive and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi mathvariant="normal">neg</mml:mi> </mml:math> negative simple roots, with <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">pos</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">neg</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> complex conjugate pairs and with <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>σ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>σ</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> . We present a series of couples (sign pattern, pair <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">pos</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">neg</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> ) depending on two integer parameters and with <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">pos</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">neg</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , which is not realizable. For <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>9</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , we give the exhaustive list of realizable couples with two sign changes in the sign pattern.